##  [Estacionariedad en Sentido Débil (WSS)](/es/node/72796) 

 Definición

Propiedad de un proceso estocástico cuya primera momento (media) es constante en el tiempo y cuya autocovarianza de segundo orden depende solo de la diferencia temporal τ entre muestras, no del tiempo absoluto; equivalentemente, la autocorrelación es función únicamente de τ.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

WSS implica invariancia temporal de las estadísticas de segundo orden: μ(t)=μ constante y Cov[X(t),X(t+τ)]=C(τ). Esto permite definir una densidad espectral de potencia mediante la transformada de Fourier de la autocorrelación (Wiener‑Khinchin).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Escenario ilustrativo: Un ruido blanco discreto con media cero y autocovarianza C(τ)=σ^2 δ[τ] tiene media constante y autocovarianza dependiente solo de τ, por lo que cumple WSS; su densidad espectral de potencia es plana con valor σ^2.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Confundir WSS con estacionariedad en sentido estricto (todas las distribuciones conjuntas invariantes al desplazamiento temporal) o asumir ergodicidad a partir de WSS; o aplicar estimadores espectrales basados en WSS a procesos cuyos momentos de segundo orden cambian en el tiempo.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Permite el uso de análisis espectral basado en autocorrelación (Wiener‑Khinchin), diseño de filtros lineales y modelado de segundo orden simplificado; las conclusiones que sustituyen promedios temporales por promedios de conjunto requieren hipótesis adicionales de ergodicidad.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

WSS no garantiza estacionariedad de orden superior ni ergodicidad: procesos pueden ser WSS pero no ergódicos (los promedios temporales no convergen a los del conjunto) o tener momentos superiores dependientes del tiempo; distribuciones no gaussianas pueden ocultar no estacionariedades de orden superior.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Claramente dentro: ruido blanco gaussiano de media cero y muchos procesos ARMA estacionarios con parámetros constantes. Caso límite: procesos ciclostacionarios cuyas estadísticas son periódicas — no WSS pero estructurados. Claramente fuera: caminatas aleatorias y procesos con media o varianza dependientes del tiempo.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la tractabilidad del modelo (suponer WSS para aplicar herramientas espectrales) y la fidelidad a señales reales con no estacionariedades lentas; la simplificación puede introducir sesgo si la no estacionariedad es significativa.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

WSS es la hipótesis práctica mínima que preserva la estructura de segundo orden necesaria para la descripción en frecuencia: posibilita representaciones por densidad espectral siendo menos restrictiva que la estacionariedad estricta, pero exige condiciones adicionales si se quieren intercambiar promedios temporales por promedios de conjunto.