##  [Borne de Cramér–Rao](/fr/node/71830) 

 Définition

Sous conditions de régularité classiques pour un modèle paramétrique de vraisemblance p(x; θ), la variance de tout estimateur sans biais θ̂ d'un paramètre scalaire θ est minorée par l'inverse de l'information de Fisher : Var(θ̂) ≥ 1 / I(θ), avec I(θ)=E[(∂/∂θ log p(X;θ))^2]. Dans le cas multivarié Cov(θ̂) ≥ I(θ)^{-1} au sens des matrices. La borne quantifie un compromis information–précision fondamental pour les estimateurs sans biais.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'information de Fisher mesure la sensibilité de la vraisemblance aux variations du paramètre ; une information de Fisher plus grande abaisse la borne inférieure sur la variance réalisable d'un estimateur sans biais — l'information borne la précision.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Scénario illustratif → Estimation de la moyenne μ à partir d'échantillons iid gaussiens de variance connue σ^2 : la moyenne d'échantillon est sans biais avec Var(μ̂)=σ^2/n et I(μ)=n/σ^2, donc Var(μ̂)=1/I(μ), réalisant la borne de Cramér–Rao et montrant l'atteignabilité sous régularité et suffisance.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer la borne pour des estimateurs biaisés sans tenir compte du biais (ignorant la contribution du biais à l'erreur quadratique moyenne), l'appliquer lorsque les conditions de régularité échouent (vraisemblance non différentiable, paramètre en bord) ou la considérer nécessairement serrée pour petits échantillons ; l'erreur est d'oublier le champ d'application et les conditions requises.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une référence pour la performance des estimateurs et oriente la conception d'estimateurs efficaces (par ex. le maximum de vraisemblance atteint la borne asymptotiquement sous régularité) ; formalise aussi comment l'information du modèle limite la précision atteignable pour une estimation sans biais.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Lorsque des estimateurs sont biaisés, l'erreur quadratique moyenne peut être inférieure à la borne de variance seule ; dans des modèles à vraisemblance irrégulière, paramètres discrets ou échec des conditions de régularité, la borne peut ne pas tenir ou nécessiter des variantes (p. ex. bornes de van Trees, Hammersley–Chapman–Robbins).

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Clairement dans → modèles paramétriques à vraisemblance différentiable, paramètres intérieurs et information de Fisher finie, quand on considère des estimateurs sans biais. Cas limite → régimes d'échantillon petit où les notions d'efficience asymptotique sont trompeuses. Claire­ment hors → cadres non paramétriques sans information de Fisher finie ou problèmes à paramètres non réguliers.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Compromis biais–variance ↔ focalisation de Cramér–Rao sur la variance sans biais : minimiser la variance sous contrainte de non-biais peut être sous-optimal pour l'EMQ total, d'où la pratique de tolérer un biais pour réduire l'EMQ malgré la limite de variance.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La borne de Cramér–Rao relie l'information différentielle de la vraisemblance à une limite formelle pour la variance des estimateurs sans biais et sert à la fois de diagnostic (quelle information contient le modèle) et d'objectif (les estimateurs efficaces cherchent à l'atteindre asymptotiquement). Son emploi pratique exige la vérification des régularités, la prise en compte du biais et la considération d'alternatives si les hypothèses échouent.