##  [Critère de Stabilité de Nyquist](/fr/node/72794) 

 Définition

Test en domaine fréquentiel pour les systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) qui détermine le nombre de pôles en boucle fermée dans le demi‑plan complexe à partie réelle positive en traçant l'image de la fonction de transfert en boucle ouverte le long d'un contour de Nyquist et en comptant les encerclements du point critique −1.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le nombre N d'encerclements horaires de −1 par la courbe de Nyquist de la fonction en boucle ouverte, combiné au nombre P de pôles en boucle ouverte dans le demi‑plan droit, donne le nombre Z de pôles en boucle fermée dans le demi‑plan droit par Z = P + N ; la stabilité en boucle fermée exige Z = 0.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Scénario illustratif : Pour un système LTI SISO sans pôles en boucle ouverte dans le demi‑plan droit (P = 0), si la courbe de Nyquist de L(jω) (avec le contour standard) n'encercle pas −1 (N = 0), alors Z = 0 et la boucle fermée est stable. Si la courbe encercle −1 une fois dans le sens horaire (N = 1), alors Z = 1 et la boucle est instable.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Compter les encerclements à partir d'une réponse fréquentielle tracée sans tenir compte des pôles en boucle ouverte dans le demi‑plan droit, des pôles sur l'axe imaginaire ou de l'orientation correcte du contour de Nyquist ; appliquer le critère à des systèmes non linéaires ou variant dans le temps sans linéarisation appropriée.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une méthode pratique pour évaluer la stabilité en boucle fermée à partir de données de réponse en fréquence en boucle ouverte, sans calculer explicitement les racines du polynôme caractéristique ; sert de base aux marges de gain et de phase en conception.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le critère suppose une fonction de transfert rationnelle LTI et un contour excluant les pôles sur le trajet ; si la boucle ouverte possède des pôles sur l'axe imaginaire ou si le système est non linéaire/variant, des adaptations ou méthodes alternatives sont nécessaires.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Clairement dans le domaine : systèmes SISO LTI à fonction de transfert rationnelle sans pôles sur l'axe jω. Cas limite : pôles simples sur jω nécessitant une indentation du contour. Clair hors du domaine : systèmes non linéaires intrinsèques ou processus stochastiques/variant dans le temps sans linéarisation. Pour systèmes discrets, utiliser la variante dans le plan z autour du cercle unité.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre méthodes fréquentielles (Nyquist/Bode) et temporelles (root‑locus, représentation d'état) : les méthodes fréquentielles exploitent la réponse mesurée mais exigent des hypothèses de contour ; les méthodes temporelles exigent un modèle d'état précis.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le critère de Nyquist ramène le comptage des pôles en boucle fermée à la topologie de l'image fréquentielle de la boucle ouverte : après avoir pris en compte les pôles en boucle ouverte, la stabilité se lit dans le nombre et le sens des tours autour de −1.