Una medida de cuán sensible es la verosimilitud de un modelo probabilístico a cambios en un parámetro; formalmente, en un modelo paramétrico la información de Fisher es la esperanza (bajo el modelo) del cuadrado de la función score (derivada del log‑likelihood). Cuantifica la cantidad local de información que una variable observable aporta sobre un parámetro desconocido y fundamenta cotas inferiores sobre la varianza de estimadores.

Principio

Mayor información de Fisher en un valor del parámetro implica una mayor curvatura del log‑likelihood y, por tanto (bajo regularidad y suposiciones de insesgamiento o argumentos asintóticos locales), una cota inferior menor sobre la varianza del estimador mediante la relación de Cramér–Rao; para muestras independientes la información de Fisher se suma.

Demostración

Escenario ilustrativo → Observaciones X1,…,Xn i.i.d. según p(x|θ). Reconocimiento → Calcular la información de Fisher de muestra n·I(θ). Acción → Aplicar Cramér–Rao: la varianza de cualquier estimador insesgado ≥ 1/(n·I(θ)). Consecuencia → Aumentar el tamaño muestral o escoger condiciones experimentales que aumenten I(θ) reduce esta cota inferior.

Aplicación incorrecta

Suponer que la información de Fisher equivale directamente a la precisión alcanzable sin verificar la regularidad del modelo o ignorando sesgo y efectos de muestra finita — el error es tratar la cota como alcanzable en muestras pequeñas, bajo mala especificación del modelo o cuando el estimador es sesgado.

Consecuencia

Sirve como herramienta de diseño y análisis asintótico: orienta el diseño experimental (maximizar la información de Fisher), la reparametrización y las predicciones de escala de varianza en régimen asintótico; formaliza también la suma de información de observaciones independientes.

Inversión

No es útil cuando las condiciones de regularidad fallan (verosimilitud no diferenciable, soporte dependiente del parámetro), para estimadores fuertemente sesgados o en contextos no paramétricos donde una información de Fisher finita no resume la identificabilidad; entonces se requieren otras medidas de información o cálculos directos del riesgo.

Límite

Dentro: modelos paramétricos diferenciables con score y momentos bien definidos y regularidad estándar. Caso límite: modelos discretos con soporte dependiente del parámetro donde la esperanza del score está mal definida. Fuera: modelos no paramétricos sin parametrización finita o modelos fuertemente mal especificados.

Tensión semántica

Tensión entre la información de Fisher (local, diferencial, dependiente del modelo) y medidas globales/bayesianas como la información mutua o la varianza posterior — la primera es local/asintótica, las segundas capturan incertidumbre global o dependiente de la prior.

Síntesis

La información de Fisher formaliza cómo la sensibilidad del modelo ante cambios de parámetro limita la precisión: es una cantidad local, aditiva y operativa para diseño experimental y cotas asintóticas de varianza, pero debe aplicarse con atención a la regularidad y contexto.