Fonction décrivant la répartition de la puissance d’un signal ou d’un processus stochastique en fonction de la fréquence, généralement exprimée en puissance par unité de bande (p. ex. watts par hertz) ; pour des signaux stationnaires au sens large la PSD est la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation (théorème de Wiener–Khinchin).

Principe

L’intégrale de la PSD sur une bande de fréquence égale la puissance attendue contenue dans cette bande ; pour un signal déterministe d’énergie finie on utilise la densité spectrale d’énergie, tandis que pour des processus stationnaires la PSD représente la densité de puissance moyenne et doit être estimée statistiquement à partir de réalisations ou de périodogrammes.

Démonstration

Exemples illustratifs — Bruit blanc : PSD approximativement plate sur la fréquence, donc puissance attendue égale pour des bandes de même largeur. Ton pur : PSD idéalisée contenant des raies spectrales concentrées (composante de Dirac) à la fréquence du ton ; une mesure sur fenêtre finie donne des pics étroits dans un spectre estimé.

Mauvaise application

Considérer un seul module FFT comme la PSD sans normalisation, fenêtrage ou interprétation d’ensemble/statistique appropriés ; confondre la PSD avec l’amplitude spectrale instantanée ou avec la densité spectrale d’énergie de signaux non stationnaires. Ces erreurs conduisent à des calculs incorrects de puissance et de SNR.

Conséquence

La PSD est l’outil principal pour concevoir des filtres, calculer le SNR en bande, répartir la puissance en fréquence et évaluer les interférences et la conformité réglementaire ; une mauvaise estimation de la PSD produit des spécifications de filtre erronées, des calculs de bande passante de bruit incorrects et des performances système dégradées.

Inversion

Pour des signaux non stationnaires ou dont les statistiques varient dans le temps, une PSD unique est insuffisante ; des représentations temps‑fréquence (spectrogrammes, estimations PSD à court terme) sont nécessaires. De plus, pour des signaux périodiques déterministes, des raies discrètes du spectre exigent de décrire l’énergie à des fréquences plutôt qu’une densité continue seule.

Limite

Clairement dans : processus aléatoires stationnaires au sens large et analyses LTI où les moyennes d’ensemble et la notion de PSD s’appliquent. Cas limite : signaux ergodiques où les moyennes temporelles remplacent les moyennes d’ensemble si les conditions sont satisfaites. Claire­ment hors : signaux non stationnaires, transitoires, pour lesquels une analyse spectrale dépendante du temps est nécessaire.

Tension sémantique

Résolution versus variance en estimation spectrale : augmenter la résolution fréquentielle (fenêtres plus longues) réduit le biais mais augmente la variance des estimateurs pour signaux stochastiques ; il faut arbitrer détails fréquentiels et stabilité de l’estimateur.

Synthèse

La PSD est la description opérationnelle de l’emplacement de la puissance d’un signal en fréquence ; sélectionner la variante adéquate (PSD d’ensemble, périodogramme, spectrogramme ou densité spectrale d’énergie) et des procédures d’estimation correctes pour concevoir filtres, calculer SNR et évaluer la conformité.