Propriété d'un processus stochastique dont la première moment (moyenne) est constant dans le temps et dont l'autocovariance d'ordre deux dépend uniquement du décalage temporel τ entre échantillons, et non du temps absolu ; de façon équivalente, l'autocorrélation est une fonction de τ seul.

Principe

La WSS implique l'invariance temporelle des statistiques d'ordre deux : μ(t)=μ constant et Cov[X(t),X(t+τ)]=C(τ). Cela permet de définir une densité spectrale de puissance via la transformée de Fourier de l'autocorrélation (Wiener‑Khinchin).

Démonstration

Scénario illustratif : Un bruit blanc discret à moyenne nulle avec autocovariance C(τ)=σ^2 δ[τ] a une moyenne constante et une autocovariance dépendant seulement de τ ; il satisfait donc la WSS ; sa densité spectrale de puissance est constante égale à σ^2.

Mauvaise application

Confondre WSS avec la stationnarité au sens strict (toutes les lois jointes invariantes par translation temporelle) ou déduire l'ergodicité de la WSS ; ou appliquer des estimateurs spectraux valides pour WSS à des processus dont les seconds moments varient dans le temps.

Conséquence

Permet l'utilisation de l'analyse spectrale basée sur l'autocorrélation (Wiener‑Khinchin), la conception de filtres linéaires et la modélisation d'ordre deux simplifiée ; toutefois, l'utilisation d'averages temporels en lieu et place d'averages d'ensemble nécessite des hypothèses d'ergodicité supplémentaires.

Inversion

La WSS n'assure pas la stationnarité d'ordres supérieurs ni l'ergodicité : des processus peuvent être WSS mais non ergodiques (les moyennes temporelles ne convergent pas vers les moyennes d'ensemble) ou avoir des moments supérieurs dépendant du temps ; des lois non gaussiennes peuvent dissimuler des non‑stationnarités d'ordre supérieur.

Limite

Clairement dans : bruit blanc gaussien à moyenne nulle et de nombreux processus ARMA stationnaires à paramètres constants. Cas limite : processus cyclostationnaires dont les statistiques sont périodiques — non WSS mais structurelles. Clair hors : marches aléatoires et processus à moyenne ou variance variant dans le temps.

Tension sémantique

Tension entre la simplicité du modèle (postuler WSS pour exploiter outils spectraux) et la fidélité aux signaux réels qui présentent des non‑stationnarités lentes ; la simplification peut introduire biais si la non‑stationnarité est significative.

Synthèse

La WSS est l'hypothèse minimale pratique préservant la structure d'ordre deux requise pour la description fréquentielle : elle rend possible une représentation en densité spectrale tout en étant moins restrictive que la stationnarité stricte, mais elle exige des hypothèses complémentaires pour remplacer moyennes d'ensemble par moyennes temporelles.