Relaciones integrales que, para un sistema lineal, invariante en el tiempo, causal y estable cuya respuesta en frecuencia es analítica en la mitad apropiada del plano complejo y decae suficientemente en el infinito, vinculan de forma única las partes real e imaginaria de esa respuesta mediante transformadas de Hilbert (integrales en valor principal). Expresan que amplitud (dispersión/absorción) y fase (reactiva/disipativa) están vinculadas por causalidad y analiticidad.

Principio

La causalidad junto con la linealidad y la analiticidad en el dominio complejo implica que las partes real e imaginaria de la respuesta en frecuencia son transformadas de Hilbert la una de la otra; el conocimiento de una en todo el espectro determina la otra salvo condiciones de convergencia (o constantes de sustracción en las formas substraídas).

Demostración

Escenario ilustrativo: se mide la parte imaginaria de la permitividad Im[ε(ω)] en un rango de frecuencias. Aplicando la integral de Kramers–Kronig en valor principal a Im[ε(ω)] se obtiene Re[ε(ω)] siempre que la respuesta sea causal y se empleen extrapolaciones justificadas para bandas no medidas; una extrapolación inadecuada o comportamiento no causal falsean Re[ε(ω)].

Aplicación incorrecta

Aplicar las relaciones a sistemas no causales, no lineales, variantes en el tiempo o activos (por ejemplo con polos en la semi‑plano analítico asumido), o usarlas con datos experimentales truncados sin tratar la extrapolación y las subtracciones, conduce a reconstrucciones fase/amplitud erróneas; el error semántico es asumir que datos en bandas locales bastan sin la condición de analiticidad global.

Consecuencia

Proporcionan una prueba de consistencia para mediciones y un método para recuperar fase/dispersion a partir de amplitud/absorción (o viceversa) cuando se cumplen las condiciones analíticas y de decaimiento; en la práctica obligan a elegir extrapolaciones o formularios substraídos para datos finitos y pueden revelar violaciones de causalidad o errores experimentales.

Inversión

Si la respuesta en frecuencia no es analítica en el semi‑plano supuesto (por ejemplo, un sistema activo con polos en la mitad superior) o no decrece para que las integrales converjan, las formas estándar de Kramers–Kronig fallan y deben reemplazarse por relaciones modificadas (substraídas) o por formulaciones adaptadas al dominio de analiticidad del sistema.

Límite

Se aplica a respuestas lineales, invariantes en el tiempo, causales y estables SISO cuyas transformadas de Fourier/Laplace sean analíticas en el semi‑plano designado y satisfagan condiciones de decaimiento; excluye respuestas inherentemente no lineales, sistemas variantes en el tiempo y casos donde la continuación analítica o la extrapolación sean imposibles o mal planteadas sin hipótesis adicionales.

Tensión semántica

Causalidad/analiticidad ↔ Mediciones finitas y ruidosas: las relaciones matemáticas exigen información frecuencial global (o extrapolación justificada), mientras que las mediciones prácticas sólo suministran bandas finitas y ruidosas, imponiendo un compromiso entre coherencia teórica y factibilidad experimental.

Síntesis

Las relaciones de Kramers–Kronig convierten el principio físico de causalidad en restricciones integrales explícitas en el dominio de frecuencia: amplitud y fase son dos caras de una misma función analítica y no pueden elegirse independientemente sin violar causalidad o analiticidad.