Relations intégrales qui, pour un système linéaire, invariant dans le temps, causal et stable dont la réponse en fréquence est analytique dans la moitié appropriée du plan complexe et décroît suffisamment à l'infini, relient de façon unique les parties réelle et imaginaire de cette réponse par des transformées de Hilbert (intégrales au sens de la valeur principale). Elles expriment que l'amplitude (dispersion/absorption) et la phase (réactif/dissipatif) sont contraintes par la causalité et l'analyticité.

Principe

La causalité combinée à la linéarité et à l'analyticité dans le domaine complexe entraînent que les parties réelle et imaginaire de la réponse en fréquence sont transformées de Hilbert l'une de l'autre ; la connaissance de l'une sur l'ensemble des fréquences détermine l'autre sous les conditions de convergence requises (ou à une constante de soustraction près si l'on emploie des formes substraites).

Démonstration

Scénario illustratif : on dispose de la partie imaginaire mesurée de la permittivité d'un matériau Im[ε(ω)] sur une plage de fréquences. L'application de l'intégrale de Kramers–Kronig en valeur principale à Im[ε(ω)] fournit la partie réelle Re[ε(ω)] à condition que la réponse soit causale et que l'on effectue des extrapolations appropriées pour les bandes non mesurées ; une extrapolation inadaptée ou un comportement non causal fausse Re[ε(ω)].

Mauvaise application

Considérer ces relations applicables aux systèmes non causaux, non linéaires, à variation temporelle ou actifs (par ex. avec pôles dans la demi‑plane analytique supposée), ou les appliquer à des données expérimentales tronquées sans traiter l'extrapolation et la soustraction, conduit à une reconstruction incorrecte phase/amplitude ; l'erreur sémantique est de supposer qu'une bande locale de fréquences suffit sans la condition d'analyticité globale.

Conséquence

Elles fournissent un test de cohérence pour les mesures et un procédé pour retrouver la phase/dispersion à partir de l'amplitude/absorption (ou inversement) quand les conditions analytiques et de décroissance sont satisfaites ; pratiquement, elles imposent des choix d'extrapolation ou de soustraction pour données finies et peuvent révéler des violations de causalité ou des erreurs de mesure.

Inversion

Si la réponse en fréquence n'est pas analytique dans la demi‑plane supposée (par exemple un système actif avec pôles dans la demi‑plane supérieure) ou ne décroît pas suffisamment pour que les intégrales convergent, les formes standard de Kramers–Kronig échouent et doivent être remplacées par des relations modifiées (subtraintes) ou par des formulations adaptées au domaine d'analyticité du système.

Limite

S'applique aux réponses LI/TI (linéaires, invariantes dans le temps), causales et stables mono‑entrée mono‑sortie dont les transformées de Fourier/Laplace sont analytiques dans la demi‑plane désignée et satisfont des conditions de décroissance ; exclut les réponses fondamentalement non linéaires, les systèmes à variation temporelle et les cas où la prolongation analytique ou l'extrapolation sont impossibles ou mal posées sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Causalité/analyticité ↔ Mesures finies et bruitées : les relations mathématiques requièrent une information fréquentielle globale (ou une extrapolation justifiée), alors que les mesures pratiques fournissent seulement des bandes finies et bruitées, imposant un compromis entre cohérence théorique et faisabilité expérimentale.

Synthèse

Les relations de Kramers–Kronig traduisent le principe physique de causalité en contraintes intégrales explicites dans le domaine fréquentiel : amplitude et phase sont deux faces d'une même fonction analytique et ne peuvent être choisies indépendamment sans violer la causalité ou l'analyticité.