Desigualdad que establece que para cualquier función convexa φ y cualquier variable aleatoria X (o cualquier medida de probabilidad), φ(E[X]) ≤ E[φ(X]), siempre que existan las esperanzas. Para φ cóncava se invierte el sentido. Formaliza cómo las transformaciones convexas no lineales interactúan con el promedio.

Principio

La convexidad obliga a que la función de la media esté por debajo (o igual) de la media de la función; equivalentemente, promediar y aplicar una no linealidad convexa no conmutan, y la esperanza de una transformación convexa se 'dispersa' más que la transformación evaluada en la media.

Demostración

Escenario ilustrativo: para una variable escalar X con segundo momento finito y φ(x)=x^2 (convexa), Jensen da (E[X])^2 = φ(E[X]) ≤ E[φ(X)] = E[X^2], de donde se obtiene la cota Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2 ≥ 0. Para φ=log (cóncava), la desigualdad se invierte: log E[X] ≥ E[log X].

Aplicación incorrecta

Aplicar Jensen a una función no convexa o ignorar condiciones de integrabilidad (esperanzas no finitas) o confundir la dirección de la desigualdad para funciones cóncavas frente a convexas son errores comunes; otro fallo es asumir igualdad salvo en casos triviales sin verificar si φ es afín en el soporte o X es casi seguro constante.

Consecuencia

Proporciona una herramienta sistemática para derivar cotas y aproximaciones de expectativas, momentos y cantidades teórico‑informacionales (p. ej. convexidad de la exponencial o concavidad del logaritmo), y sustenta muchas desigualdades y cotas de riesgo en estimación y aprendizaje.

Inversión

Si φ es cóncava la dirección de la desigualdad se invierte; si las esperanzas no existen (momentos infinitos) o la medida no es de probabilidad, la afirmación básica necesita modificación (por ejemplo usando valores reales extendidos o formas condicionales).

Límite

Requiere que φ sea convexa (o cóncava para la forma invertida) en el dominio relevante y que E[|φ(X)|], E[|X|] sean finitas según sea necesario; no aplica directamente cuando estas condiciones de integrabilidad fallan o cuando X no está definido sobre un espacio de probabilidad.

Tensión semántica

Promediado (esperanza) ↔ No linealidad (transformaciones convexas/cóncavas): Jensen cuantifica la discrepancia causada por la no linealidad, forzando trade‑offs en métodos de aproximación que sustituyen expectativas de transformadas por transformadas de expectativas.

Síntesis

La desigualdad de Jensen codifica la intuición de que «la media de una transformación convexa es al menos la transformación de la media»; es la relación fundamental que explica cómo no linealidad e incertidumbre interactúan en análisis probabilístico y estadístico.