Inégalité qui affirme que pour toute fonction convexe φ et toute variable aléatoire X (ou toute mesure de probabilité), φ(E[X]) ≤ E[φ(X)], sous réserve que les espérances existent. Pour φ concave, le sens de l'inégalité s'inverse. Elle formalise l'interaction entre transformations convexes non linéaires et moyenne.

Principe

La convexité impose que la fonction de la moyenne soit inférieure (ou égale) à la moyenne de la fonction ; autrement dit, moyennage et non‑linéarité convexe ne commutent pas et l'espérance d'une transformation convexe 's'étale' davantage que la transformation évaluée au moyen.

Démonstration

Scénario illustratif : pour une variable scalaire X de deuxième moment fini et φ(x)=x^2 (convexe), Jensen donne (E[X])^2 = φ(E[X]) ≤ E[φ(X)] = E[X^2], d'où la borne élémentaire Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2 ≥ 0. Pour φ=log (concave), l'inégalité s'inverse : log E[X] ≥ E[log X].

Mauvaise application

Appliquer Jensen à une fonction non convexe ou négliger les conditions d'intégrabilité (espérances non finies) ou confondre le sens de l'inégalité pour φ concave versus convexe sont des erreurs fréquentes ; autre erreur : supposer que l'égalité tient sauf pour cas triviaux sans vérifier si φ est affine sur le support ou si X est presque sûrement constant.

Conséquence

Fournit un outil systématique pour établir bornes et approximations d'espérances, moments et quantités informationnelles (p. ex. convexité de l'exponentielle ou concavité du logarithme) et sous‑tend de nombreuses inégalités et bornes de risque en estimation et apprentissage.

Inversion

Si φ est concave, la direction de l'inégalité s'inverse ; si les espérances n'existent pas (moments infinis) ou si la mesure n'est pas une probabilité, l'énoncé de base doit être adapté (par ex. en utilisant valeurs réelles étendues ou formes conditionnelles).

Limite

Exige que φ soit convexe (ou concave pour la forme inversée) sur le domaine pertinent et que E[|φ(X)|], E[|X|] soient finis selon les besoins ; ne s'applique pas directement lorsque ces conditions d'intégrabilité échouent ou si X n'est pas défini sur un espace probabilisé.

Tension sémantique

Moyennage (espérance) ↔ Non‑linéarité (transformations convexes/concaves) : Jensen quantifie le décalage provoqué par la non‑linéarité, imposant des compromis dans les méthodes d'approximation qui remplacent espérance des transformées par transformée de l'espérance.

Synthèse

L'inégalité de Jensen formalise l'intuition selon laquelle « la moyenne d'une transformation convexe dépasse la transformation de la moyenne » ; c'est la relation fondamentale expliquant comment non‑linéarité et incertitude interagissent en analyse probabiliste et statistique.