Ein frequenzbereichsbasierter Test für lineare zeitinvariante (LTI) Systeme, der die Anzahl der geschlossenen Regelkreispole in der rechten Halbebene bestimmt, indem die offene Übertragungsfunktion entlang einer Nyquist‑Kontur in die komplexe Ebene abgebildet und die Umkreisungen des kritischen Punktes −1 gezählt werden.

Prinzip

Die Anzahl N der im Uhrzeigersinn um −1 erfolgten Umkreisungen durch die Nyquist‑Kurve der offenen Schleife zusammen mit der Anzahl P der offenen Schleifenpole in der rechten Halbebene ergibt die Anzahl Z der geschlossenen Schleifenpole in der rechten Halbebene durch Z = P + N; für Stabilität gilt Z = 0.

Demonstration

Illustratives Beispiel: Ein LTI‑SISO‑System hat keine offenen Schleifenpole in der rechten Halbebene (P = 0). Umkreist die Nyquist‑Kurve von L(jω) −1 nicht (N = 0), so ist Z = 0 und das geschlossene System stabil. Umkreist die Kurve −1 einmal im Uhrzeigersinn (N = 1), so ist Z = 1 und das System instabil.

Fehlanwendung

Umkreisungen aus einer Frequenzantwort zu zählen, ohne offene RHP‑Pole, Pole auf der imaginären Achse oder die korrekte Konturorientierung zu berücksichtigen; oder das Kriterium bei nichtlinearen oder zeitvarianten Systemen ohne Linearisierung anzuwenden.

Konsequenz

Ermöglicht die Stabilitätsbewertung der geschlossenen Schleife anhand offener Schleifenfrequenzantworten, ohne die geschlossenen Polstellen direkt zu berechnen; bildet die Grundlage für Gain‑ und Phasen‑Margins im Entwurf.

Umkehrung

Das Kriterium setzt ein LTI‑System mit rationaler Übertragungsfunktion und eine Kontur voraus, die keine Pole auf dem Pfad schneidet; bei Polen auf der imaginären Achse oder bei nichtlinearen/zeitvarianten Systemen sind Anpassungen oder alternative Methoden erforderlich.

Abgrenzung

Deutlich innerhalb: SISO‑LTI‑Systeme mit rationaler Übertragungsfunktion ohne Pole auf jω. Randfall: einfache Pole auf jω erfordern Kontureinrückung. Deutlich außerhalb: inhärent nichtlineare Systeme oder stochastische/zeitvariante Prozesse ohne Linearisierung. Für diskrete Zeit: Variante im z‑Bereich um den Einheitskreis.

Semantische Spannung

Spannung zwischen frequenzbasierten (Nyquist/Bode) und zeitbasierten (Root‑Locus, Zustandsraum) Stabilitätsmethoden: Frequenzmethoden bedienen sich direkter Messungen, benötigen jedoch Konturannahmen; Zeitmethoden erfordern präzise Modellierung.

Synthese

Das Nyquist‑Kriterium übersetzt das Problem der geschlossenen Polzählung in eine topologische Eigenschaft der offenen Schleifenfrequenzantwort: nach Berücksichtigung offener RHP‑Pole bestimmt die Windungszahl um −1 die Stabilität.