Prueba en el dominio de la frecuencia para sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) que determina el número de polos en lazo cerrado en el semiplano complejo de parte real positiva, trazando la imagen de la función de transferencia en lazo abierto a lo largo de una contorno de Nyquist y contando las circunvalaciones del punto crítico −1.

Principio

El número N de circunvalaciones en sentido horario alrededor de −1 por la gráfica de Nyquist en lazo abierto, junto con el número P de polos en lazo abierto en el semiplano derecho, da el número Z de polos en lazo cerrado en ese semiplano por Z = P + N; la estabilidad en lazo cerrado exige Z = 0.

Demostración

Escenario ilustrativo: Un sistema LTI SISO no tiene polos en lazo abierto en el semiplano derecho (P = 0). Si la trama de Nyquist de L(jω) no circunvala −1 (N = 0), entonces Z = 0 y el lazo cerrado es estable. Si la trama circunvala −1 una vez en sentido horario (N = 1), entonces Z = 1 y el lazo es inestable.

Aplicación incorrecta

Contar circunvalaciones a partir de una respuesta en frecuencia sin tener en cuenta polos en RHP en lazo abierto, polos en el eje imaginario o la orientación correcta del contorno de Nyquist; aplicar el criterio a sistemas no lineales o variantes en el tiempo sin linealización.

Consecuencia

Proporciona un método práctico para evaluar la estabilidad en lazo cerrado a partir de datos de respuesta en frecuencia en lazo abierto sin calcular explícitamente las raíces del denominador de lazo cerrado; fundamenta las medidas de margen de ganancia y fase.

Inversión

El criterio requiere una función de transferencia racional LTI y un contorno que excluya polos sobre la trayectoria; cuando existen polos en el eje imaginario o el sistema es no lineal/variable en el tiempo, se requieren modificaciones o métodos alternativos.

Límite

Claramente dentro: sistemas SISO LTI con función de transferencia racional sin polos sobre jω. Caso límite: polos simples sobre jω que exigen indentación del contorno. Claramente fuera: sistemas inherentemente no lineales o procesos estocásticos/variante en el tiempo sin linealización. Los sistemas discretos requieren la variante en el plano z alrededor del círculo unidad.

Tensión semántica

Tensión entre métodos en frecuencia (Nyquist/Bode) y en tiempo (root‑locus, espacio de estados): los métodos en frecuencia permiten usar respuestas medidas pero requieren hipótesis de contorno; los métodos en tiempo necesitan un modelo del sistema.

Síntesis

Nyquist convierte el conteo de polos en lazo cerrado en una propiedad topológica de la respuesta en frecuencia de lazo abierto: tras considerar los polos RHP de lazo abierto, la estabilidad se infiere del número y sentido de las vueltas alrededor de −1.