Test en domaine fréquentiel pour les systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) qui détermine le nombre de pôles en boucle fermée dans le demi‑plan complexe à partie réelle positive en traçant l'image de la fonction de transfert en boucle ouverte le long d'un contour de Nyquist et en comptant les encerclements du point critique −1.

Principe

Le nombre N d'encerclements horaires de −1 par la courbe de Nyquist de la fonction en boucle ouverte, combiné au nombre P de pôles en boucle ouverte dans le demi‑plan droit, donne le nombre Z de pôles en boucle fermée dans le demi‑plan droit par Z = P + N ; la stabilité en boucle fermée exige Z = 0.

Démonstration

Scénario illustratif : Pour un système LTI SISO sans pôles en boucle ouverte dans le demi‑plan droit (P = 0), si la courbe de Nyquist de L(jω) (avec le contour standard) n'encercle pas −1 (N = 0), alors Z = 0 et la boucle fermée est stable. Si la courbe encercle −1 une fois dans le sens horaire (N = 1), alors Z = 1 et la boucle est instable.

Mauvaise application

Compter les encerclements à partir d'une réponse fréquentielle tracée sans tenir compte des pôles en boucle ouverte dans le demi‑plan droit, des pôles sur l'axe imaginaire ou de l'orientation correcte du contour de Nyquist ; appliquer le critère à des systèmes non linéaires ou variant dans le temps sans linéarisation appropriée.

Conséquence

Fournit une méthode pratique pour évaluer la stabilité en boucle fermée à partir de données de réponse en fréquence en boucle ouverte, sans calculer explicitement les racines du polynôme caractéristique ; sert de base aux marges de gain et de phase en conception.

Inversion

Le critère suppose une fonction de transfert rationnelle LTI et un contour excluant les pôles sur le trajet ; si la boucle ouverte possède des pôles sur l'axe imaginaire ou si le système est non linéaire/variant, des adaptations ou méthodes alternatives sont nécessaires.

Limite

Clairement dans le domaine : systèmes SISO LTI à fonction de transfert rationnelle sans pôles sur l'axe jω. Cas limite : pôles simples sur jω nécessitant une indentation du contour. Clair hors du domaine : systèmes non linéaires intrinsèques ou processus stochastiques/variant dans le temps sans linéarisation. Pour systèmes discrets, utiliser la variante dans le plan z autour du cercle unité.

Tension sémantique

Tension entre méthodes fréquentielles (Nyquist/Bode) et temporelles (root‑locus, représentation d'état) : les méthodes fréquentielles exploitent la réponse mesurée mais exigent des hypothèses de contour ; les méthodes temporelles exigent un modèle d'état précis.

Synthèse

Le critère de Nyquist ramène le comptage des pôles en boucle fermée à la topologie de l'image fréquentielle de la boucle ouverte : après avoir pris en compte les pôles en boucle ouverte, la stabilité se lit dans le nombre et le sens des tours autour de −1.